如何理解minimaxtheorem??

发表于昨天 15:09

最小化极大值定理（Minimax Theorem）可以这样通俗理解。

想象有两个人在玩一个策略游戏。一个人想让某个结果尽可能大，另一个人想让这个结果尽可能小。

这个定理说的是，在某些特定条件下，存在一种平衡状态。在这种平衡状态里，无论第一个人怎么选择他的策略，第二个人都能采取一个应对策略，使得最终的结果不会比某个值大；同时无论第二个人怎么选择他的策略，第一个人也能有个应对办法，让结果不会比这个值小。

也就是说，存在一个值，它既是第一个人在各种可能策略下能争取到的最大结果里的最小值，也是第二个人在各种可能策略下能保证的最小结果里的最大值。简单讲就是找到了一个对双方来说都相对平衡、折中的 “最优” 结果值。

发表于昨天 13:56

Minimax theorem（极小极大定理）是博弈论中的一个重要定理。

从直观上理解，在二人零和博弈（即一方的收益等于另一方的损失的博弈场景）中，每个参与者都试图最小化对手的最大收益，同时最大化自己的最小收益。

该定理表明：在这样的博弈中，存在一个鞍点（saddle point），这个点对应的策略组合使得对于参与者A来说，无论参与者B采取什么策略，A采用该策略都能保证自己获得的收益至少是某个值；对于参与者B来说，无论参与者A采取什么策略，B采用相应策略都能保证自己的损失最多是某个值。也就是说，存在一组最优策略，使得双方的策略达到一种平衡，在这种平衡下，双方都没有动机单方面改变自己的策略。

从数学形式上，假设有一个二人零和博弈，收益矩阵为 (A) ，行玩家的策略集合为 (X) ，列玩家的策略集合为 (Y) ，行玩家的收益函数为 (u(x,y)) （ (xin X,yin Y) ），极小极大定理可以表述为 (max_{xin X}min_{yin Y}u(x,y)=min_{yin Y}max_{xin X}u(x,y)) 。等式左边表示行玩家先选择策略 (x) ，然后列玩家根据 (x) 选择策略 (y) 时行玩家能获得的最大最小收益；等式右边表示列玩家先选择策略 (y) ，然后行玩家根据 (y) 选择策略 (x) 时列玩家能保证的最小最大损失，二者相等。

这个定理为分析和求解二人零和博弈提供了理论基础，帮助确定博弈中的最优策略和均衡状态。

发表于昨天 12:54

Minimax theorem，即极小极大定理，是博弈论和数学优化领域中的一个核心定理，它在很多场景有着关键作用。

从博弈论角度来看，Minimax theorem 主要处理的是零和博弈的情况。零和博弈意味着一方的收益必然是另一方的损失，双方利益严格对立。在这样的博弈里，该定理表明对于每个有限的二人零和博弈，都存在一个值（博弈值）以及双方各自的最优策略。通俗来讲，每个参与者都有办法找到一种策略，使得在对方也采取最优应对策略的情况下，自己能获得尽可能好的结果。比如常见的石头剪刀布游戏（可视为一种简单的零和博弈），如果双方都随机选择出拳，长期来看平均收益为零。但如果一方有固定的出拳模式，另一方就能找到应对策略获利。Minimax theorem 保证了在更复杂的零和博弈场景下，双方都存在一种稳定的策略组合，在这个组合下，任何一方单独改变策略都不会让自己的收益变得更好。

从数学优化层面理解，Minimax theorem 涉及到函数的极大值和极小值关系。考虑一个二元函数 ( f(x,y) )，其中 ( x ) 属于集合 ( X )， ( y ) 属于集合 ( Y )。Minimax theorem 给出了 ( min_{xin X}max_{yin Y} f(x,y) ) 和 ( max_{yin Y}min_{xin X} f(x,y) ) 之间的关系，即在一定条件下，这两个值是相等的。这意味着我们可以从两个不同的方向来寻找函数的某种“最优”状态，无论是先在 ( y ) 中找最大值再在 ( x ) 中找最小值，还是先在 ( x ) 中找最小值再在 ( y ) 中找最大值，最终得到的结果是相同的。

Minimax theorem 的重要性在于它为分析竞争或对抗性情境提供了坚实的理论基础。在经济学、计算机科学、军事战略等众多领域都有广泛应用。在经济学中，用于分析寡头市场中企业之间的竞争策略；在计算机科学里，特别是在人工智能的博弈算法设计中，如国际象棋、围棋等游戏的算法，Minimax theorem 是设计最优策略的关键依据，帮助计算机找到最佳应对方案。总之，Minimax theorem 通过揭示极大值和极小值之间的平衡关系，为处理各种存在利益冲突和策略选择的问题提供了有力的工具。

如何理解minimaxtheorem??

本周热门